Питагоровата теорема гласи: в правоъгълен триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.
Записана с букви, при катети a и b и хипотенуза c:
a² + b² = c²
Теоремата важи само за правоъгълни триъгълници. Това ограничение е първата и най-честа причина за грешка — прилагането ѝ върху триъгълник, за който няма доказано, че има прав ъгъл.
Кои страни са катети и коя е хипотенуза
Хипотенузата е страната срещу правия ъгъл и винаги е най-дългата страна в триъгълника. Другите две страни, които заграждат правия ъгъл, са катетите.
Разпознаването не зависи от начина, по който триъгълникът е нарисуван. Ако правият ъгъл е при връх B, хипотенузата е страната AC — независимо дали е начертана хоризонтално, вертикално или под наклон. При задачи с обърнати или наклонени фигури именно това е мястото, където се допускат грешки: ученикът приема за хипотенуза страната, която изглежда най-дълга на чертежа, вместо да провери срещу кой връх стои.
Доказателство
Съществуват стотици доказателства на теоремата. Най-нагледното използва квадрат със страна (a + b).
Върху всяка страна на голям квадрат със страна a + b отбелязваме точка, която я дели на отсечки с дължини a и b. Свързвайки четирите точки, получаваме вътрешен четириъгълник. Четирите триъгълника в ъглите са правоъгълни, с катети a и b и хипотенуза c, и са еднакви помежду си. Вътрешният четириъгълник има четири равни страни c и всеки от ъглите му е прав, следователно е квадрат.
Лицето на големия квадрат може да се пресметне по два начина:
Като квадрат със страна a + b: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Като сбор от вътрешния квадрат и четирите триъгълника: c² + 4 · (ab/2) = c² + 2ab
Двата израза са равни, защото описват едно и също лице:
a² + 2ab + b² = c² + 2ab
След съкращаване на 2ab от двете страни остава a² + b² = c².
Обратната теорема
Обратната теорема е също толкова важна за изпита, но се пропуска по-често: ако в един триъгълник квадратът на едната страна е равен на сбора от квадратите на другите две, то триъгълникът е правоъгълен.
Тя се използва, когато трябва да се докаже, че даден ъгъл е прав. Задачата дава три страни и пита дали триъгълникът е правоъгълен — проверява се дали най-голямата страна на квадрат е равна на сбора от квадратите на другите две.
Пример: триъгълник със страни 8, 15 и 17. Проверяваме 8² + 15² = 64 + 225 = 289, а 17² = 289. Равенството е налице, следователно триъгълникът е правоъгълен и правият ъгъл е срещу страната 17.
Питагорови тройки, които е добре да се знаят наизуст
Питагорова тройка е набор от три цели числа, които удовлетворяват равенството. Разпознаването им спестява значително време на изпит, защото премахва нуждата от извличане на корен.
Основните тройки са: 3, 4, 5 · 5, 12, 13 · 8, 15, 17 · 7, 24, 25 · 20, 21, 29
Всяко кратно на тройка също е тройка. От 3, 4, 5 следват 6, 8, 10 и 9, 12, 15 и 30, 40, 50. Задача с катети 9 и 12 се решава наум, ако тройката бъде разпозната.
Решени примери
Задача 1 — намиране на хипотенуза. Правоъгълен триъгълник има катети 6 cm и 8 cm. Намерете хипотенузата.
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, откъдето c = 10 cm. Тук се разпознава кратното на тройката 3, 4, 5.
Задача 2 — намиране на катет. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 13 cm, единият катет е 5 cm. Намерете другия катет.
Тук равенството се преобразува: b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, откъдето b = 12 cm.
Внимание: при търсене на катет се изважда, не се събира. Това е втората по честота грешка при тази тема.
Задача 3 — приложение върху правоъгълник. Правоъгълник има страни 9 cm и 12 cm. Намерете диагонала.
Диагоналът разделя правоъгълника на два правоъгълни триъгълника с катети 9 и 12. Следователно d² = 81 + 144 = 225 и d = 15 cm.
Задача 4 — приложение върху равнобедрен триъгълник. Равнобедрен триъгълник има бедро 10 cm и основа 12 cm. Намерете височината към основата.
Височината към основата в равнобедрен триъгълник я разполовява. Получава се правоъгълен триъгълник с хипотенуза 10 и катет 6. Тогава h² = 100 − 36 = 64 и h = 8 cm.
Кои грешки струват точки
Прилагане върху непрaвоъгълен триъгълник. Теоремата не важи за произволен триъгълник. Ако правият ъгъл не е даден и не е доказан, теоремата не може да се използва.
Объркване на катет с хипотенуза. При наклонени фигури хипотенузата се определя по разположението спрямо правия ъгъл, а не по вида на чертежа.
Събиране вместо изваждане. При търсене на катет квадратът на другия катет се изважда от квадрата на хипотенузата.
Загубена мерна единица. Отговорът се записва с мерната единица от условието. Празната стойност често не носи пълния брой точки.
Неточно закръгляне. Когато резултатът не е цяло число, се спазва указанието от условието за брой знаци след десетичната запетая.
Систематичен преглед на типовите пропуски ще намерите в статията за най-честите грешки в НВО по математика.
Често задавани въпроси
В кой клас се изучава Питагоровата теорема?
Теоремата се изучава в 7. клас в раздела за геометрия и се използва през целия гимназиален курс — при триъгълници, четириъгълници, тела и в тригонометрията.
Важи ли Питагоровата теорема за всички триъгълници?
Не. Тя важи само за правоъгълни триъгълници. За произволни триъгълници се използват косинусовата и синусовата теорема, които се изучават по-късно.
Каква е разликата между правата и обратната теорема?
Правата теорема тръгва от прав ъгъл и дава връзката между страните. Обратната тръгва от връзката между страните и доказва, че ъгълът е прав.
Как се намира катет, ако са известни хипотенузата и другият катет?
Квадратът на известния катет се изважда от квадрата на хипотенузата и от разликата се извлича корен квадратен.
Трябва ли Питагоровите тройки да се учат наизуст?
Не е задължително, но е практично. Разпознаването на тройка на изпит спестява време и премахва риска от грешка при извличането на корен.
Ключови изводи
Питагоровата теорема свързва трите страни на правоъгълен триъгълник чрез равенството a² + b² = c², където c е страната срещу правия ъгъл.
Обратната теорема служи за доказване, че един ъгъл е прав, и се среща на изпит също толкова често, колкото и правата.
Най-скъпите грешки са прилагане върху триъгълник без доказан прав ъгъл и събиране вместо изваждане при търсене на катет.
В подготовката за НВО по математика в 7. клас в Образователен център „Йота“ работим върху логиката на решението — учениците се научават да разпознават кой инструмент е приложим за конкретната задача, а не да прилагат формули по памет.
Related Posts
