Рационално е всяко число, което може да се запише като частно на две цели числа, при което делителят е различен от нула. Записът има вида a/b, където a и b са цели числа и b ≠ 0.
Множеството на рационалните числа включва всички цели числа, всички обикновени дроби и всички десетични дроби с краен или периодичен запис — както положителни, така и отрицателни.
Кои числа са рационални и кои не са
Числото 5 е рационално, защото може да се запише като 5/1. Числото −3 е рационално по същата причина: −3/1.
Дробта 2/7 е рационална по определение. Десетичната дроб 0,25 също е, защото се записва като 1/4. Периодичната десетична дроб 0,333… е рационална и е равна на 1/3.
Нерационални са числата, чийто десетичен запис е безкраен и непериодичен — например √2 и π. Тези числа се наричат ирационални и се изучават по-късно.
Практическото следствие в 6. клас: всяко число, което ученикът среща в задачите, е рационално, а най-важната нова част е работата с отрицателните числа.
Числова ос, противоположни числа и абсолютна стойност
Всяко рационално число има точно едно място върху числовата ос. Положителните са вдясно от нулата, отрицателните — вляво.
Две числа, които са на еднакво разстояние от нулата, но от различни страни, се наричат противоположни. Противоположното на 7 е −7, а на −2,5 е 2,5. Сборът на две противоположни числа винаги е нула.
Абсолютната стойност на едно число е разстоянието му до нулата и затова никога не е отрицателна. Записва се между две отвесни черти: |−8| = 8 и |8| = 8.
Абсолютната стойност е инструментът, с който се извършват всички действия с отрицателни числа. Правилата по-долу се формулират именно чрез нея.
Сравняване на рационални числа
При сравняване важи едно основно положение: от две числа по-голямо е онова, което стои по-вдясно на числовата ос.
От това следват три практически правила:
Всяко положително число е по-голямо от всяко отрицателно. Например 0,1 > −1000.
Нулата е по-голяма от всяко отрицателно и по-малка от всяко положително.
От две отрицателни числа по-голямо е онова с по-малка абсолютна стойност. Затова −3 > −8, макар че 3 < 8.
Именно последното правило е източник на най-устойчивата грешка при тази тема. Ученикът сравнява абсолютните стойности и заключава, че −8 е по-голямо, защото 8 е по-голямо от 3.
Четирите действия
Събиране. При еднакви знаци абсолютните стойности се събират и се запазва общият знак: (−5) + (−3) = −8. При различни знаци от по-голямата абсолютна стойност се изважда по-малката, а знакът се взема от числото с по-голяма абсолютна стойност: (−9) + 4 = −5.
Изваждане. Изваждането се заменя със събиране с противоположното число: a − b = a + (−b). Например 3 − 7 = 3 + (−7) = −4, а също −2 − (−6) = −2 + 6 = 4.
Това преобразуване е ключово. Всяка задача с изваждане на отрицателни числа става изпълнима, ако бъде превърната в събиране.
Умножение. Абсолютните стойности се умножават, а знакът се определя от правилото за знаците: при еднакви знаци резултатът е положителен, при различни — отрицателен. Така (−4)·(−5) = 20, а (−4)·5 = −20.
Деление. Знакът се определя по същото правило като при умножението: (−12) : (−3) = 4 и (−12) : 3 = −4. Делението на нула е недефинирано.
Полезно правило при по-дълги произведения: ако броят на отрицателните множители е четен, резултатът е положителен; ако е нечетен — отрицателен.
Ред на действията
Редът остава същият като при естествените числа: първо се извършват действията в скоби, след това степенуването, после умножението и делението отляво надясно, и накрая събирането и изваждането отляво надясно.
Отрицателните числа не променят този ред, но добавят една допълнителна опасност — знакът пред скобата.
Когато пред скоба стои знак минус, при премахването на скобата всички знаци в нея се променят на противоположни: 5 − (3 − 8) = 5 − 3 + 8 = 10.
Когато пред скоба стои знак плюс, знаците вътре остават непроменени.
Кои грешки се допускат най-често
Сравняване на отрицателни числа по абсолютна стойност. −3 е по-голямо от −8, не обратното.
Загубен знак при премахване на скоба. Минусът пред скобата се отнася до всички събираеми вътре, не само до първото.
Объркване на правилото за събиране с правилото за умножение. При умножение „минус по минус дава плюс“; при събиране „минус плюс минус дава минус“. Двете правила се смесват изключително често.
Степенуване на отрицателно число без скоби. Изразите (−3)² и −3² не са равни: първият е 9, вторият е −9.
Механично прехвърляне на правилата върху дроби. При събиране на дроби с различни знаменатели знакът се обработва отделно от привеждането към общ знаменател.
Систематичната работа с тези пропуски е основната част от подготовката за контролни по математика в 6. клас.
Защо темата е важна за 7. клас
Рационалните числа не са изолиран раздел. Върху тях стъпва цялата алгебра в 7. клас — решаването на линейни уравнения, работата с изрази и преобразуванията с формулите за съкратено умножение.
Ученик, който губи знак при премахване на скоба в 6. клас, ще губи същия знак при решаване на уравнение в 7. клас, а после и при геометрични задачи, в които се пресмятат дължини. Затова пропуските в тази тема се отразяват върху резултата от националното външно оценяване много по-силно, отколкото изглежда на пръв поглед.
Често задавани въпроси
Кои числа са рационални?
Всички числа, които могат да се запишат като частно на две цели числа с делител, различен от нула. Това включва целите числа, обикновените дроби и десетичните дроби с краен или периодичен запис, както положителни, така и отрицателни.
Кое е по-голямо: −5 или −2?
−2 е по-голямо. От две отрицателни числа по-голямо е онова с по-малка абсолютна стойност, защото стои по-вдясно на числовата ос.
Защо минус по минус дава плюс?
Правилото за знаците при умножение следва от изискването действията с отрицателни числа да запазват свойствата на действията с положителни. В 6. клас то се въвежда като правило, а обосновката се разглежда в по-горните класове.
Каква е разликата между (−4)² и −4²?
(−4)² означава, че се степенува числото −4, и резултатът е 16. Изразът −4² означава, че се степенува 4 и после се взема противоположното число, тоест резултатът е −16.
Как се изважда отрицателно число?
Изваждането се заменя със събиране с противоположното число. Изразът −5 − (−9) става −5 + 9 и е равен на 4.
Ключови изводи
Рационалните числа обединяват целите числа и всички дроби, а новото в 6. клас е систематичната работа с отрицателните стойности.
Абсолютната стойност е инструментът, чрез който се формулират всички правила — за сравняване, за събиране и за определяне на знака.
Двете най-скъпи грешки са сравняването на отрицателни числа по абсолютна стойност и загубеният знак при премахване на скоба с минус отпред.
Темата е основата на алгебрата в 7. клас. В уроците по математика за 6. клас в Образователен център „Йота“ акцентът е върху разбирането на правилата, а не върху запаметяването им — така пропуските не се пренасят в следващия етап
Related Posts
